线性方程组的求解探究及其经济应用开题报告

1. 研究目的与意义

一、线性方程组的求解问题作为线性代数中的核心问题之一，本文将更加系统地阐述求解线性方程组的多种方法，以及基于matlab软件实现数值分析.

二、线性代数是大学课程中一门主要的基础课程，线性代数的知识作为计算技术的基础也日益受到重视，用代数方法解决实际问题开始涉及到各个领域，其重要性和实用性可见一斑.

三、线性代数理论在经济领域的应用逐渐突出，作为一名复合型学科的学生，学会如何将经济信息联系到一起，对每一种信息生产与投入进行分析很重要，通过数学建模研究经济活动，解释经济现象，找到经济运行的规律，从而提出指导经济活动的建议与方法.

2. 研究内容和预期目标

研究内容：对于不同类型的线性方程组，采用什么样的求解方法，一个方程组何时有解，有解方程组解的个数以及对有解方程组求解决定解的结构.

关键问题：方程组存在解的个数的问题及线性方程组是否存在零解，如在实践中遇到的问题，方程个数未必等于未知量个数，即使方程个数等于未知量个数，也未必有唯一解等关键问题，还有如何运用matlab解决线性方程组的问题.

写作提纲：先简述线性方程组的定义及其基本性质，然后通过一些例子归纳总结出求解的多种方法，深入分析各种解法及其特点，介绍如何利用matlab软件解决线性方程组和基于matlab实现的数值分析方法，最后简单举例线性方程组理论及其在经济领域中的应用.

3. 国内外研究现状

目前关于线性方程组的数值解法一般有两大类，一类是直接法，另一类是迭代法. 直接法最基本的是Cramer法则以及Gauss消元法，这种方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，早在我国古代数学著作《九章算术》中已作比较完整的论述，其实质上相当于现代对方程组的增广矩阵进行初等变换，在西方线性方程组的研究是在17世纪后期有莱布尼茨开创的，1750年瑞士数学家Cramer在他的《线性代数分析导言》中发表了定理Cramer法则，近十几年来，直接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进程. 迭代法是用某种迭代过程去逐步逼近线性方程组的精确解，迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的重要方法，如Jacobi迭代法、Gauss—Seidel迭代法、超松弛SOR迭代法等，都是Hadjidimos在1978年所提出的加速超松弛（AOR）迭代法的特例，当前对迭代法的研究已经较为成熟，但如何获得更好的性能加速有待进一步研究.

4. 计划与进度安排

第1-8周 填写开题报告，确定论文主题方向，对相关资料进行收集，并加以整理，构筑论文的大纲.

第9-13周 根据收集的书籍和相关资料，进行初步的论文编写工作，对编写论文过程中出现的问题，进行修改完善，完成初稿部分.

第13-14周 向指导老师寻求意见，优化论文结构，做到格式一定的正确，准备论文中期修改，推敲整合，完成第二稿.

5. 参考文献

[1]刘剑平，施劲松，钱夕元，曹宵临. 线性代数及其应用[m]. 华东理工大学出版社，2008

[2]林亮，吴群英. 数值分析方法与实验：基于matlab实现[m]. 高等教育出版社，2012

[3]王莲花，梁志新. 线性代数解题方法[m]. 化学工业出版，2011