矩阵的特征值与特征向量问题及其在经济学中的应用开题报告

1. 研究目的与意义

矩阵是一个贯穿了整个大学数学的基础内容，作为一个重要的基本概念。在代数学中，矩阵是一个重要的研究对象。通过线性空间及线性变换的学习，我们在特征子空间的概念中得到了矩阵的特征值与特征向量的定义，它们的出现更是为一些数学问题或者其他领域的问题提供了重要方法和手段。

现在，矩阵已经成为了一个独立的数学分支学科，由此可知，矩阵不仅在代数学中是一个值得研究的课题，对于其他领域也是有着重要作用的，可以说，对矩阵的理解直接决定了对代数学学习的成效。而矩阵的特征值与特征向量又在矩阵论中有着举足轻重地位的一项内容，所以，对矩阵的特征值与特征向量的深入研究，不仅仅可以提高对代数学整体的掌握，更能够通过对其有关性质的灵活运用，在实际生活中简化或解决一些看似复杂困难的问题。

2. 研究内容和预期目标

本文拟在前人的研究为基础，总结归纳基础的理论，并针对一些特殊矩阵做单独研究，再给出一些在经济学中的应用。

首先，给出基础的理论内容，如：矩阵的特征值与特征向量的基本定义，以及一些相关的性质, 这些内容会在后续的工作中有所应用。

然后，讨论在不同的条件下，矩阵的特征值与特征向量的不同求法，如：定义法、初等变换法以及一些特殊的方法。

3. 国内外研究现状

l 张亚在2018年讨论了矩阵的介绍了特征值与特征向量的概念与性质，总结了特征值与特征向量的求法，在此基础上初步探讨了矩阵特征值的反问题，并且探讨了特征值与特征向量在一些领域上的应用。赵院娥、李顺琴在2009年进一步研究几种矩阵的特征值问题。张红玉在2009年通过阶方阵的特征值得出一系列相关矩阵的特征值，再由特征值与正定矩阵关系得出正定矩阵的结论。王英瑛在2008年利用矩阵的初等变换理论，详细讨论了矩阵特征值和特征向量的求法。夏慧明、周永权在2008年提出一种基于进化策略求解矩阵特征值及特征向量的新方法。岳嵘在2007年通过对已知阶对称矩阵的个互不相等的特征值及个特征向量，给出矩阵的计算公式，并给出证明及应用举例。黄金伟在2007年给出求解矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法：列行互逆变换方法与列初等变换方法。贤锋在2006年通过建模实例介绍了最大特征值及特征向量的应用。邵丽丽在2006年通过对阶矩阵的特征值与特征向量的研究，针对阶矩阵的特征值与特征向量的应用进行了三个方面的探讨，并给出了相关命题的证明及相应的例题。李延敏在2004年通过对矩阵进行行列互换，同步求出矩阵特征值与特征向量，解决了不少带参数求特征值问题，并给出一些新定理。郭华、刘小明在2004年从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用。王秀芬在2004年推导出一种方法，通过此方法可以利用特征值与特征向量求线性递推关系中的通项公式。向以华在对矩阵特征值与特征向量相关问题进行系统的归纳，得出了通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值与特征向量的结论，同时讨论了反问题。刘国琪在矩阵的运算中，从二者的性质出发，结合例子给出了特征值特征向量对于矩阵化简问题的作用。杨廷俊运用计算机语言，以及MATLAB程序进行编程，从实际入手，给出了应用计算机来解决问题的全过程。戴华等人，通过研究阶矩阵的特征值与特征向量，给出了矩阵正定性的性质。

近年来，对矩阵的特征值与特征向量问题的研究已经很深入，本课题将对矩阵特征值与特征向量的相关问题进行系统的归纳，并对矩阵的特征值与特征向量的基本性质进行介绍，根据其性质对矩阵特征值与特征向量的应用进行更深一步的探讨。

4. 计划与进度安排

第一阶段(2022.12-2022.01):回顾矩阵的特征值与特征向量问题的有关知识，并阅读相关的参考文献及专业课本。

第二阶段(2022.01-2022.02):收集矩阵的特征值与特征向量在经济学中的应用实例，进行深入学习与整理，并构建好论文框架，完成整篇论文的初步模型。

5. 参考文献

[1] 张亚. 矩阵的特征值与特征向量及其应用[j]. 科学经济导刊, 2018，26(11).

[2] 赵院娥,李顺琴. 矩阵的特征值与特征向量[j]. 江西科学, 2009(10)：05-14.

[3] 张红玉. 矩阵特征值的理论及应用[j]. 山西大同大学学报(自然科学版), 2009(02):15-01.