特征值的数值计算及其在经济学中的应用开题报告

1. 研究目的与意义

矩阵蕴含着了丰富的数学思想与方法，在各个领域不断的发展并且走向成熟，因此中国传统数学在世界数学发展史上有着深远的影响。矩阵是数学中的一个重要的基本概念及代数学中的研究对象，同时应用在各个理工科数学研究上的一个重要工具，具有实用价值。特征值和特征向量的讨论使得这一工具更加便利化，易于理解。

矩阵特征值在矩阵计算中着发挥着重要的作用，在现实的生产活动的众多领域中，矩阵特征值问题都有非常广泛的涉及。同时也在生物学、工程计算、量子力学、经济学、保险金融等学科有着重要的应用，因此它被众多数学学者、工程技术人员以及科技学者所青睐。矩阵计算是计算数学的一个重要分支,而矩阵特征值计算作为矩阵计算的重要方向，是国内外的研究热点，因此研究矩阵特征值问题意义重大。矩阵特征值的计算手段与时代一起进步，许多非常简便的数值方法应运而生。比如幂法、反幂法、豪斯霍尔德变换、QR分解、奇异值分解等。

2. 研究内容和预期目标

研究内容：

通过研究矩阵特征值的几种计算的方法，对于特征值的计算主要阐述并且归纳了特征值和特征向量的概念、性质、计算方法以及在经济学领域中的应用，用具体的经济学实例来说明矩阵特征值的实用性。

拟解决的关键问题：

3. 国内外研究现状

矩阵特征问题是数值计算的--个重要组成部分，也是当前迅速发展的计算机科学和数值代数中一个活跃的研究课题。矩阵特征问题不仅可以直接解决数学中诸如非线性规划常微分方程以及其他各类数学计算问题，而且在结构力学工程设计计算物理和量子力学中都发挥着重要的作用在科学与工程计算中,求解矩阵特征值也是最普遍的问题之一如动力系统和结构系统中的振动问题电力系统的静态稳定分析.上工程设计中的某些临界值的确定等都可归结为求解矩阵特征值问题仿真实验结果表明，该方法求解精度高收敛速度快，可以有效获得任意矩阵的特征值区间。其在经济学方面，例如产出模型也有着重要的作用，能够大大简便对于模型的计算，且便于理解。在进行特征值计算时，由于初始数据的误差，计算机字长的限制带来的舍入误差是不可避免的，所以我们引申出多个求解方法作为参照对比。矩阵特征值的数值计算在上个世纪后半叶得到充分的发展，国外的发展体系比较完善，建立了矩阵特征值计算理论的基本框架，国内在上世纪80年代中期以后，一批致力于基础理论研究的数学工作者在这一-领域取得了长足的发展，使矩阵特征值数值计算的分析方法、研究范围都有突破性的进展，为其在其他学科上的应用起到了导向和借鉴作用。

4. 计划与进度安排

第一阶段：2022年1 2月~2022年1月查阅文献，收集资料，提出研究报告的基本框架以及填写开题报告

第二阶段：2022年2 月~2022年3月进行总结研究，并进行初稿撰写

第三阶段：2022年4月~2022年5月进修改论文补充文献，并最终定稿

5. 参考文献

【1】曾莉; 肖明计算实对称矩阵特征值特征向量的幂法[j] 南昌大学学报(理科版) 2016-08-25

【2】李思雨多步幂法修正的内外迭代法的收敛性分析[j]电脑知识与技术2017-10-15

【3】郏卫士矩阵的特征值计算方法探讨[j] 德州学院学报 2016-12-29