不确定微分方程及其在证券市场的应用开题报告

1. 研究目的与意义

不确定微分方程广泛应用于不确定财政、不确定控制、不确定微分博弈等领域.通过比较随机领域Black-Scholes模型和不确定领域Liu模型的欧式期权定价公式,验证不确定微分方程描述证券市场的合理性和实用性.不确定微分方程已经成为解决受不确定因素干扰问题的一个有效工具,吸引了很多学者的关注. 当前不确定微分方程的应用非常广泛，实用性也很强，各方都很关注.

2. 研究内容和预期目标

研究不确定微分方程的Euler方法和Runge-Kutta方法两种数值解法,并进行误差分析.通过比较随机领域Black-Scholes模型和不确定领域Liu模型的欧式期权定价公式,验证不确定微分方程描述证券市场的合理性和实用性.不确定微分方程的稳定性定义有依测度、依期望、依逆分布、指数稳定等.分析三种类型的非线性不确定微分方程.通过研究解的依逆分布稳定性,得出不确定微分方程依逆分布稳定的充分条件. 通过研究不确定微分方程的数值解法来具体运用到证券市场中去，解决一些如期权定价问题、市场有效性问题、以及最优问题.

3. 国内外研究现状

在引文4中，主要分析了在经济领域中，对不确定微分方程的运用。比如,如何确定保险公司的最优投资和再保险策略,不仅可归纳为众多学者所研究的随机最优控制问题,而且也是保险公司在实际业务中非常关心的问题.因此,基于随机最优控制理论研究不同情形下的最优投资和再保险策略问题,不仅可以丰富和发展随机控制理论,而且在保险精算领域有很大的应用价值.与此同时，不确定理论在解决金融问题中发挥着越来越重要的作用.在引文5中基于不确定指数Ornstein-Uhlenbeck过程研究了亚式期权定价问题,运用α-轨道方法,分别推导了几何平均亚式看涨期权和看跌期权定价公式,并讨论了不确定期权定价公式的数学性质,最后给出一些数值算例.在引文6中指出了有效市场假说(EMH)是最重要的经济和金融假说之一.一些学者对有效市场假说是否有效提出了质疑,并指出金融文献中存在大量关于市场异象的证据.对此,本文回顾了市场有效性的理论和文献,明确了有效市场假说的概念.在证券市场中，亚式期权是一种重要的金融衍生工具,它是金融市场最受欢迎的路径依赖型期权之一,其收益取决于期权整个周期内标的资产的平均价值.由于风险的动态不确定性,因此假设外汇市场中的利率是一个不确定过程,其变化规律可由不确定微分方程来刻画.为了对冲外汇市场中的风险,银行拟定一个合同来赋予投资者以敲定价格购买外汇的权力,而拥有这项权利需要付出一定的代价.在引文8以不确定外汇模型为基础研究了亚式期权问题,结合不确定理论和公平定价原则最终推导了几何平均亚式期权的定价公式.

4. 计划与进度安排

本论文主要围绕不确定微分方程的数值解法，同时简单分析在证券市场中，在期权定价中，不确定微分方程的应用.大概思路如下，第一部分阐述不确定理论，不确定理论由Liu于2007建立，是基于规范性、对偶性、次可加性和乘积公理这四条公理的一套系统.不确定理论最核心的概念是不确定测度、不确定变量、不确定分布和期望值.不确定理论正是在这些核心概念的基础上发展成为了研究不确定现象的数学分支；第二部分引入不确定微分方程的概念，重点介绍不确定微分方程及及其研究进展，不确定微分方程是由不确定过程驱动的一类微分方程；第三部分介绍几类不确定微分方程的研究状况；第四部分介绍不确定微分方程在证券市场中的应用，主要涉及市场有效性、期权定价、最优价值组合等方面；第五部分进行一些关于不确定微分方程的总结.

5. 参考文献

[1]王志刚,申康,王思哲.不确定微分方程的数值解法及其应用研究[j].模糊系统与数学,2020,34(01):141-148.

[2]陶娜娜,王婷,胡培义.非线性不确定微分方程的依逆分布稳定性[j].南阳师范学院学报,2020,19(01):26-31.

[3]费晨,费为银.分布不确定下随机微分方程参数最小二乘估计[j].数学物理学报,2019,39(06):1499-1513.