非线性Schr#246;dinger方程的一个显式Sine拟谱方法开题报告

1. 本选题研究的目的及意义

非线性schrödinger方程（nls）是一类重要的非线性偏微分方程，在非线性光学、等离子体物理、凝聚态物理、流体力学等领域有着广泛的应用。

例如，nls方程可以描述光脉冲在光纤中的传输、玻色-爱因斯坦凝聚体的演化、深海波浪的传播等等。

因此，研究nls方程的数值解法具有重要的理论意义和实际应用价值。

2. 本选题国内外研究状况综述

非线性schrödinger方程的数值求解一直是计算数学领域的研究热点，国内外学者对此进行了大量的研究，并取得了丰硕的成果。

1. 国内研究现状

国内学者在nls方程数值解法方面取得了一系列重要成果，特别是在有限差分法、有限元法、谱方法等方面积累了丰富的经验。

3. 本选题研究的主要内容及写作提纲

1. 主要内容

本研究将针对非线性schrödinger方程，提出一种显式sine拟谱方法，并对其进行理论分析和数值验证。

具体内容包括：
1.推导显式sine拟谱方法的计算格式。

4. 研究的方法与步骤

本研究将采用理论分析和数值实验相结合的方法，具体步骤如下：
1.文献调研阶段:深入研究非线性schrödinger方程的物理背景、数值解法及研究现状，特别是sine拟谱方法和显式时间积分方法的相关理论基础，为本研究奠定理论基础。

2.方法构建阶段:基于sine拟谱方法对nls方程的空间导数进行逼近，并结合显式时间积分方法对时间导数进行离散，推导出显式sine拟谱方法的计算格式。

3.理论分析阶段:采用线性稳定性分析方法研究数值格式的稳定性条件，并推导色散误差关系式。

5. 研究的创新点

本研究的创新点主要体现在以下几个方面：
1.方法创新:将sine拟谱方法与显式时间积分方法结合，提出一种新的求解非线性schrödinger方程的数值方法——显式sine拟谱方法。

2.理论分析:对新方法的稳定性、色散误差和收敛阶进行详细的理论分析，为方法的应用提供理论依据。

3.数值验证:通过设计不同的数值算例，验证新方法的有效性和优越性，并与现有方法进行比较分析，突出新方法的优势。

6. 计划与进度安排

第一阶段 （2024.12~2024.1）确认选题，了解毕业论文的相关步骤。

第二阶段（2024.1~2024.2）查询阅读相关文献，列出提纲

第三阶段（2024.2~2024.3）查询资料，学习相关论文

7. 参考文献（20个中文5个英文）

[1]包凯帆,黄文灵.求解非线性薛定谔方程的一种高精度紧致格式[j].数学的实践与认识,2021,51(19):258-268.

[2]王丹,张鲁明.求解非线性薛定谔方程的保结构数值方法[j].计算数学,2019,41(04):427-440.

[3]李玉环,司建国,孙兆伟.一类非线性薛定谔方程的二阶守恒 fourier 谱方法[j].计算数学,2019,41(02):219-239.