1. 研究目的与意义
数值微分即给定函数的测量数据近似求其导数,此类问题是在Hardamard意义下典型的不适定问题，也就是说我们在测量的过程中微小的误差可能会给最后的数值结果造成很大的影响。由于各种学科的迅速发展，数学物理反问题在应用数学中的地位越来越重要，而反问题大多是不适定的，为了克服不适定性，我们需要采取特殊的办法来处理。例如，正则化方法，样条插值方法，积分算子法等等一些基本方法。此外，在实际应用问题中，我们需要通过一些离散的数据点来计算函数的导数。因此数值微分问题在在科学研究以及工程实践中有广泛的应用价值，比如说期权定价问题，数字图像特征检测问题，解Abel积分方程，确定化学光谱中的波峰。
本文将介绍几种数值解法在MATLAB中的实现程序来解决数学及其他学科中的各种实际问题。
2. 研究内容和预期目标
| 一、研究内容： 1.几种数值算法的概念 2.数值微分问题算法研究 3.基于MATLAB求解并比较
二、拟解决的关键问题： 简述几个求解数值微分问题的常见算法，了解他们的基本原理。通过MATLAB编程解决并比较数值微分问题的算法。
三、写作提纲： 1.题目 2.中文摘要 3.英文摘要 4.引言 5.几种数值算法的概念 6. 数值微分问题算法研究 7.基于MATLAB求解并比较 8.参考文献 |
3. 国内外研究现状
[1] 数值微分，即利用函数在一些离散点上的测量值近似求其导数，是一类典型的不适定问题。众所周知,测量数据不可避免的会带有误差，这就使得近似导致的计算误差可能是任意大的。为克服数值微分问题的不适定性，尤其是这种不稳定性，必须引入求解不适定问题的稳定化算法。常见的稳定化算法有正则化方法、有限差分法、积分算子法、磨光化方法等。
[2] 磨光化方法是在求导之前对函数进行磨光，然后对磨光后的函数直接求导得到函数近似导数的一种方法.磨光可以去除待求导函数的高频噪声,保证近似导数的稳定性.这里的磨光一般是借助与核函数的卷积实现的，高斯核函数就是常用的磨光核函数。
[3] 磨光化方法的数值稳定性以及对强近似导数的图像震荡函数求导的数值有效性，表明高斯核磨光比有理核磨光的效果更好。
4. 计划与进度安排
1．2022年11月底前——完成选题工作；
2．2022年12月底前——完成开题工作和论文培育立项工作；
3．2022年3月底前——完成初稿和选题复查和中期检查工作；
5. 参考文献
| [1]向晓燕，徐会林，肖宇辉. 磨光化方法在数值微分中的应用[J]. 赣南师范大学报,2020(06): 7-11. [2]蔡清波.Matlab在数值分析课程教学中的应用[J].教育教学论坛,2018(41):177-179. [3]牛潇萌.MATLAB软件在数值分析课程中的应用[J].赤峰学院学报(自然科学版),2018,34(08):17-18. [4]刘静. 数值微分的正则化方法研究[D].西安:西安理工大学,2020. [5] 基于时间分数阶扩散方程源项反演的一阶与二阶数值微分方法（英文）[J]. 陈树立,阮周生,王泽文,张文.高等学校计算数学学报. 2019(03) [6] 徐磊，张虹，高德宝，宋千红，张彩霞，邵云虹.不适定问题的Landweber迭代正则化方法研究[J]. 通化师范学院学报,2021,42( 06) : 36-39. [7]张馨月. 基于二元样条的数值微分研究[D].吉林：吉林大学，2020 [8]郭珂珂. 两类分数阶四元数值微分方程的概周期解[D].云南：云南大学，2020 [9] 刘生喜. 四元数值微分方程的概周期以及同宿和异宿运动[D].云南：云南大学，2020 [10] 闵涛，刘静. 基于Huber函数的数值微分正则化方法[J]. 应用泛函分析学报,2019,21(03):199-207 [11] 肖振华，梁意文， 谭成予， 周雯，刘维炜.基于数值微分的树突状细胞故障检测方法[J] 电子学报.2019,47(05):1029-1035 [12] 王春.两类四元数值微分方程的反周期解[D].云南：云南大学，2018 [13] 谷瑞雪.Banach空间中非线性反问题的若干迭代正则化方法研究[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学，2021 [14] 蒲娟娟.拟逆正则化方法在两类反问题中的应用[D].甘肃：西北师范大学，2021 [15] 黄博闻，赵增武，张亚竹，黄军.基于正则化方法的阶梯边界条件反问题研究[J] 计算机仿真.2021,38(04) [16]高阶全变差正则化彩色图像去马赛克[J]. 刘铭丽,王希云.太原科技大学学报. 2019(06) [17] Numericaldifferentiation by a Fourier extension method with super-order regularization[J].BaoqinChen,Zhenyu Zhao,Zhi Li,Zehong Meng. Applied Mathematics and Computation.2018 [18] A novel and accurate finite differencemethod for the fractional Laplacian and the fractional Poisson problem[J].Siwei Duo,Hans Werner van Wyk,Yanzhi Zhang. Journal of Computational Physics.2018 [19] On Nesterov acceleration for Landweber iteration oflinear ill-posed problems[J] .Andreas Neubauer.Journal of Inverse and Ill-posed Problems.2017(3) [20] Exploringtime-delay-based numerical differentiation using principal component analysis[J].Hongtao Li,Ersegun Deniz Gedikli,Raed Lubbad. Physica A: StatisticalMechanics and its Applications.2020 |
课题毕业论文、文献综述、任务书、外文翻译、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
