迭代法的分类及其应用开题报告

1. 研究目的与意义

迭代是数值分析中通过一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题的过程，为实现这一过程所使用的的方法统称为迭代法。

迭代法是一类利用递推公式或循环算法通过构造序列来求问题近似解的方法，它在数值分析中有着及其重要的地位与十分广泛的应用。主要用于对所研究问题构造收敛的迭代格式，分析它们的收敛速度及收敛范围。

在许多实际问题的研究中，如电磁场理论、经济分析等，最终都归结为一个或几个大型稀疏矩阵的线性方程，通常用迭代法进行求解。迭代法可以看做是递推数列的线性变换问题，人们常围绕着的迭代法的收敛性及如何加速两个问题进行研究。本文旨在于研究运用数值分析中运用迭代法的基础问题，并力求可基于matlab进行求解。

2. 研究内容和预期目标

本文依托现有理论，以与迭代法相关的基础知识为研究切入角度，以具体问题为依托探讨利用迭代法可以解决的实际问题，并通过进一步分析，引出应用迭代法过程中可能出现的相关问题以及迭代法的优化。

先根据收集阅读文献资料概述迭代法的基础知识，对应用现状进行分析，通过具体的案例，运用matlab进行假设检验统计推断，得出结论。最后，针对实际应用过程中遇到的问题，提出优化方案。

3. 国内外研究现状

迭代法是一类利用递推公式或循环算法通过构造序列来求问题近似解的方法。例如，非线性方程，利用递推关系式，从开始依次计算，来逼近方程的根的方法，若仅与有关，即，则称此迭代法为单步迭代法，一般称为多步迭代法；而对于线性方程组，由关系，从开始依次计算渐近方程的解的方法。若对某一正整数，当时，与 k 无关，称该迭代法为定常迭代法，否则称之为非定常迭代法。称所构造的序列为迭代序列。

自然科学与工程技术中，许多实际问题最终要归结成求解一个线性方程组，如在计算数学的函数插值和拟合法，微分方程的数值解法等领域，且工程技术往往会长生大型稀疏矩阵方程组，迭代法是解线性方程组常用的方法，如著名的jacobi迭代法，gauss-seidel迭代法和sor迭代法等。

在基础数学的领域中，国内外专家们对迭代法的理论和应用进行研究，不但完善了迭代法相关内容，而且与计算机等学科也有融合研究，一直以来，人们也积极探索将迭代法应用在实际问题当中。

4. 计划与进度安排

将严格按照学校毕业论文（设计）的要求，进行合理的时间安排与规划，在寒假前进行选题与准备，运用寒假完成各项前期工作，仔细阅读文献以及收集有关资料，自行完成论文初稿，与指导老师充分交流修改完成终稿。

2022年11月 选定论文题目

2022年12月 与指导老师沟通后撰写并提交开题报告

5. 参考文献

1. 姜健飞，吴笑千，胡良剑.数值分析[m].2版.北京.清华大学出版社，2015.

2. 李庆扬，王能超，易大义．数值分析[m]．5 版．北京：清华大学出版社，2018．

3. 吴思婷. 求解大规模稀疏线性方程组的迭代方法的研究[d].华东理工大学,2021.doi:10.27148/d.cnki.ghagu.2021.000311.

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