求解非线性方程组的四阶收敛性算法开题报告

1. 研究目的与意义（文献综述包含参考文献）

文 献 综 述1、 选题目的和意义：非线性方程组的求解是当今科学发展的一个重要研究方向, 这是因为在经济学、工程实践、信息安全和动力学等方面有大量的实际问题最终转化为非线性方程组的求解问题. 因此求解非线性方程组的问题引起人们广泛的关注与重视, 使得人们不停地探索各种有效的求解方法. 数值计算的主要研究对象是线性方程组，所以可以看到的是线性方程组的研究成果是非常可观的.然而实际上的问题是非线性居多，解决方法一般为求解非线性方程组.同时我们也知道，非线性方程组的求解不仅复杂难解，还需要进行大量计算，耗时耗力. 由此可以说非线性方程组解法的发展前景十分广阔，有需要就会有市场，而且需要的是高效计算的新型方法才有竞争力，所以对非线性方程组进行研究无论是在学术研究上还是解决大型复杂问题上都是很有意义的.2、 国内外研究现状：研究非线性方程组的历史十分悠久，各行各界的权威人士对其认同程度都相当之高，因为它为其他有关学术学问的发展与运用提供了强有力的帮助. 目前来看，有关非线性方程组问题的解决手段已经有了明显的进步，在数值解法这一角度也发展飞快，迭代方法、同伦算法与人工智能法等是其中佼佼者.其中以 newton法最为常用、最为基础,其他迭代法均是源于 newton 法.1979 年，王德人[1] 利用简单迭代法和压缩映像原理解释了非线性方程组解的存在和唯一性.求解非线性方程组的迭代法的理论成果颇为丰厚，运用已经相当纯熟，在newton 法根基之上延伸出来的各样的高阶收敛法也不断得到改良. 于迭代法而言，我们对方程组 f（x）=0 求解时，构造迭代格式xk 1 = g(xk),k = 1,2 （1）对（1）取如下格式xk 1=xk[j(xk)]1f(xk),k = 1,2 (2)式中，j(x)是 f(x)的雅可比矩阵，这种方法就是各种方法起始的源头newton 法. 然而在实际运用中，经证实可以得出结论，二阶收敛的 newton 法并不适用于解决非线性问题，对非线性方程组进行求解较为困难.其一是因为 newton 法求解高度依赖初始值 x，只有初始值 x 充分接近方程组的精确解 x*时,才能保证 newton 法收敛;其二就是还需要大量计算雅可比矩阵 j(x)，消耗时间与资源，是一种浪费.g. alefeld [2]在 1981年对 hally 的方法进行了更深一步的研究.1989 年，冯果忱[3] 在 newton 法和简单迭代法的基础上创建了拟 newton 法及其变体和下降法席少霖[4]在其一书《非线性最优化方法》中较为系统全面地介绍了非线性优化的基本理论和算法，深入浅出地展现了共轭梯度法最小二乘法等在非线性算法中的应用. 大范围收敛法在机构学、工程等领域的应用非常实用，是一种求解非线性问题的一种全局收敛方法，实用性很强，迭代法局部收敛这一不足在这里不曾表现出来，而且不再依赖于初始值x0，且在满足特定条件下，可以获取求解问题所列方程组的解集.下面对目前常见的两种算法加以说明. 区间分析法是以区间 newton 法为基础，可以顾虑到所有的偏差，在得到要求问题的解的同时，得到一个在我们所要求精度里面的偏差.由区间向量 x，区间矩阵 k,两种数据加以整理，就可得到区间分析法的迭代格式xk 1 = xk ∩ k(xk),k = 1,2 (8)通常情况，初始区间x0= x，用上述格式进行区间迭代，在找到 x*所处的极小区间范围内，下一步 newton 法准确找到 x*. 李庆扬[5]在其《非线性方程组的数值解法》中介绍了有关非线性方程组数值解的理论和方法.袁亚湘, 孙文瑜[6]的《最优化理论与方法》一书全面、系统地介绍了最优化理论和方法,详细论述了无约束最优化、约束最优化和非光滑最优化的最优性条件、求解方法以及各类求解方法的特点.黄象鼎, 曾钟钢, 马亚南[7]在非线性数值分析中将近十年的研究成果进行了汇总编著，讲解了压缩条件下的迭代法，牛顿法与拟牛顿法，同伦延拓法以及带参数的非线性问题的解法等问题. 连淑君[8]对共轭梯度法进行了更深层次的研究并于 2004 年发布了《共轭梯度算法的全局收敛性研究》，深入地研究了共轭梯度算法在解非线性方程组的问题.2006 年，ch. chun. [9] 在《a new iterative method for solving nonlinearequations》.一文中对 newton-raphson 方法进行了改进了，并且提出了一种新的有效迭代求解非线性方程组的方法2009 年，倪勤[10]在《最优化方法与程序设计》一书中系统地介绍了非线性优化基本理论、方法与程序设计以及 matlab 的功能与使用.同年，j. e. dennis, r. b. schnabel. [11] 发表了《numerical methods for unconstrained optimization andnonlinear equations》阐释了无约束优化和非线性方程的数值方法.次年， f. awawdeh.[12]使用二阶和三阶的迭代方法，以更高的效率解决了非线性方程组求解的问题.2011 年 ，g. l. yuan, z. x. wei, x. w. lu. [13]利用 bfgs 信赖域方法对非线性方程组开展研究.同年 m. waseem. [14]和大部分学者一样使用迭代的方法进行研究.2017 年， x. zhao, j. y. fan. [15]提出了一种求解奇异非线性方程的多点迭代levenberg-marquardt 算法，该算法在局部误差有界条件下全局收敛，并研究了算法的收敛次序.3、简述本文将做的工作基于检验方程组的牛顿三阶方法，将其推广到四阶算法上，并应用于求解张量特征值问题。

本文将构造三次方程组来得到四阶方向，再将两步迭代法扩展成三步迭代法，从而得到四阶收敛性算法。

参考文献[1] 王德人. 非线性方程组解法与最优化方法[m]. 北京: 人民教育出版社,1979.[2] g. alefeld. on the convergence of hally's method. am. math. mon. 1981:88: 530-536.[3] 冯果忱. 非线性方程组迭代解法[m]. 上海: 上海科学技术出版社, 1989.[4] 席少霖. 非线性最优化方法[m]. 北京: 高等教育出版社, 1992.[5] 李庆扬, 莫孜中, 祁力群. 非线性方程组的数值解法[m]. 北京: 科学出版社,1999.[6] 袁亚湘, 孙文瑜. 最优化理论与方法[m]. 北京: 科学出版社, 1999.[7] 黄象鼎, 曾钟钢, 马亚南. 非线性数值分析[m]. 四川: 武汉大学出版社, 2000.[8] 连淑君. 共轭梯度算法的全局收敛性研究[d]. 大连: 大连理工大学, 2004.[9] ch. chun. a new iterative method for solving nonlinear equations[j]. appl. math. comput. 2006: 178: 415-422.[10] 倪勤. 最优化方法与程序设计[m]. 北京：科学出版社, 2009.[11] j. e. dennis, r. b. schnabel. numerical methods for unconstrainedoptimization and nonlinear equations[m]. science press, beijing, 2009.[12] f. awawdeh. on new iterative method for solving systems of nonlinearequations[j]. numer algor. 2010: 54: 395-409.[13] g. l. yuan, z. x. wei, x. w. lu. a bfgs trust-region method for nonlinearequations[j]. computing. 2011: 92: 317-333.[14] m. waseem. on some iterative methods for solving system of nonlinearequations[d]. schoolof comsats institute of information technology, islamabad,2011.[15] x. zhao, j. y. fan. on the multi-point levenbergmarquardt method forsingular nonlinear equations[j]. comp. appl. math. 2017, 36: 203-223.

2. 研究的基本内容、问题解决措施及方案

问题：求解非线性方程组求解非线性方程组的主要方法有牛顿法、割线法、延拓法、搜索法、梯度法、信赖域法、共轭方向法、变尺度法等方法，其中牛顿法是最为基础也是最被广大学者使用的方法，具体步骤如下：步 0.给定初始点 0 x ， 0 ，令 k 0 。

步 1.若|| ( ) || k f x ≤ ，则 * k x x ，终止迭代. 步 2.计算 k d 满足 ( ) ( )k k k j x d f x 。

步 3.计算 k 1 k k x x d ，令 k k 1 ，转步 1。