实数完备性基本定理的等价性及其应用开题报告

1. 研究目的与意义

实数的完备性又叫实数的连续性，指实数集关于极限运算封闭的性质，它是有别于有理数集的重要特征，是实数集的优点。分析学引入实数完备性理论具有历史必然性。早在17世纪，牛顿、莱布尼兹建立了微积分的演算体系，但这套微积分的概念并不准确，推导公式存在明显的逻辑矛盾；直至19世纪，矛盾已积累到非解决不可的程度，于是在这种形势下，实数完备性理论作为极限理论的坚实基础被引入了，并使微积分的演算体系严格化。因此，实数完备性是分析学的理论基础, 其包括确界原理、区间套定理、单调有界原理、 聚点定理、柯西收敛准则及有限覆盖定理等六个基本定理，

实数完备性理论涉及六个基本定理的等价性证明，具有很强的理论性、抽象性等特点，对于初学者具有较高的挑战性。本课题主要探究六个基本定理的等价证明方法及应用，提升解决数学分析问题的能力。

2. 研究内容和预期目标

研究内容：

1.实数集的完备性； 2.实数完备性六个基本定理的叙述和证明；

3.六个基本定理的循环证明； 4.利用实数完备性证明闭区间上连续函数的性质；

3. 研究的方法与步骤

研究方法

1.文献查找法：根据研究课题或相关问题，查找相关的文献获取有效性、实时性、价值性的信息，基于得到的内容进行汇总与深入分析。

步骤

4. 参考文献

1. 华东师范大学数学系．数学分析(第四版)[m]．北京：高等教育出版社，2010.

2. 刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义(第四版)[m]. 北京：高等教育出版社，2006.

3. 张筑生.数学分析新讲[m].北京：北京大学出版社，2005.

5. 计划与进度安排

1、2024年12月8日 - 2024年12月14日，确定选题和指导老师，与指导老师进行沟通，在毕业论文系统中完成双选工作。

2、2024年2月20日 - 3月3日，下载查看老师下发的任务书，查找并阅读参考文献，按规定要求撰写开题报告并提交；

3、3月4日 - 5月21日，按开题报告撰写论文，每周向指导老师汇报毕业论文进展并在毕业论文系统中完成周记；